a) Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta ABC\)vuông tại A ta có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=5^2+12^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=169\)

\(\Leftrightarrow BC=13\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :  \(AB.AC=BC.AH\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng ta có  \(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow BH=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}\left(cm\right)\)

Do BE là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{HE}=\frac{AB}{BH}=5\div\frac{25}{13}=\frac{13}{5}\)

Theo dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{AE}{13}=\frac{HE}{5}=\frac{AE+HE}{13+5}=\frac{AH}{18}=\frac{60}{13}\div18=\frac{10}{39}\)

\(\Rightarrow AE=\frac{10}{39}\times13=\frac{10}{3}\left(cm\right)\)

Mặt khác BF là tia phân giác  \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\)

Theo dãy tỉ số bằng nhau ta được :

\(\frac{AF}{5}=\frac{FC}{13}=\frac{AF+FC}{5+13}=\frac{AC}{18}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow AF=\frac{2}{3}\times5=\frac{10}{3}\left(cm\right)\)

Xét  \(\Delta AEF\)có  \(AE=AF\left(=\frac{10}{3}cm\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\)cân tại A ( đpcm )

Vậy ...

hình,

~~~

a/ A/dụng pitago vào tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2=5^2+12^2=169\Rightarrow BC=13\left(cm\right)\)

Xét ΔHBA và ΔABC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{H}=\widehat{A}=90^o\left(gt\right)\\\widehat{B}:chung\end{matrix}\right.\)

=>ΔHBA ~ ΔABC (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{5\cdot12}{13}\approx4,6\left(cm\right)\)

b/ Xét ΔABF và ΔHBE có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=\widehat{H}=90^o\left(gt\right)\\\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> ΔABF ~ ΔHBE (g.g)

=> \(\widehat{F_1}=\widehat{E_2}\) (2 góc tương ứng)

mặt khác: \(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\)(đối đỉnh)

=> \(\widehat{F_1}=\widehat{E_1}\)

=> ΔAEF cân tại A (đpcm)

Gọi K là giao điểm của HA và DE

Kẻ DM, EN vuông góc với AH tại M và N

Xét  tam giác vuông  AEN và tam giác vuông ACH có: 

AE=AC ( giả thiết)

\(\widehat{NAE}=\widehat{HCA}\)( cùng phụ góc HAC)

=> Tam giác AEN= Tam giác ACH

=> EN=AH (1)

Tương tự chứng minh được: Tam giác DAM= tam giác ABH

=> AH=DM (2)

Từ (1) và (2)

=> DM =NE (3)

Xét tam giác vuông DMK và tam giác vuông ENK có:

\(\widehat{DKM}=\widehat{EKN}\)

DM=NE ( theo (3))

=> Tam giác DMK=ENK

=> KD=KE

=> K là trung điểm DE

=> AH đi qua trung điểm DE

cô có thẻ giải thích 1 chút về cùng phụ góc HAC được ko ạ ?

Ta có: \(\widehat{NAE}+\widehat{HAC}=90^o\)

\(\widehat{HCA}+\widehat{HAC}=90^o\)

=> \(\widehat{NAE}=\widehat{HCA}\)

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 90^o

Hai góc cùng phụ với một góc  nghĩa là hai góc cùng cộng với một góc đó đều bằng 90^o

nên hai góc ấy bằng nhau